vektor

August 3, 2018 | Author: puji_n10tangsel | Category: N/A
Share Embed Donate


Short Description

Download vektor...

Description

VEKTOR

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor 

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah



Besar vektor  artinya panjang vektor   Arah

vektor 

artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif   Vektor

disajikan dalam bentuk

ruas garis berarah

Gambar Vektor B

u  45°

A

X

ditulis vektor AB atau u A disebut titik pangkal B disebut titik ujung

Notasi Penulisan Vektor   Bentuk vektor kolom: 1      3      u =     PQ  PQ =  − 2   atau    4    0    Bentuk vektor baris:     

AB

= ( 3,

)

4 atau v

= ( − 2, 3, 0)

Vektor ditulis dengan notasi: i, j dan k misal : a = 3i – 2 j + 7k

VEKTOR DI R2 Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2 Y

•A(x,y)

y•Q

 j

a

x

O i P i vektor satuan searah sumbu X  j vektor satuan searah sumbu Y

X

OP

+ PA =

OP

+ OQ = OA

OA

OP = xi; OQ= y j Jadi OA =xi + y j atau a = xi + y j

Vektor di R3 Vektor di R3

adalah

Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga atau Vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3 adalah (x, y, z) maka OP = x i; OQ = y j dan OS = zk Z •S z k

O x•P Xi

•T(x,y,z)

y •Q  j

Y

OP + PR = OR atau OP + OQ = OR OR + RT = OT atau OP + OQ + OS = OT

Z S

z k O x• Xi P

•T(x,y,z)

t

Jadi OT = xi + y j + zk

y Y Q  j •R(x,y) atau

t = xi + y j + zk

Vektor Posisi Vektor posisi  adalah Vektor yang titik pangkalnya O(0,0)

 Y

Contoh:

B(2,4)

Vektor posisi

b a O

A(4,1) titik A(4,1) adalah X

OA = a

 4   =      1  

Vektor posisi titik B(2,4) adalah OB =  b

= 2i + 4 j

Panjang vektor Dilambangkan dengan tanda ‘harga mutlak’

a 1     Di R2, panjang vektor: a =      a 2   atau a = a1i + a j 2

Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras

a

=

a1

2

+ a2

2

  x      Di R3 , panjang vektor: v =   y     z       atau v = xi + y j + zk Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras

v

=

x

2

+ y + z  2

2

Contoh:  3   1. Panjang vektor: a =  4         2 2 a 3 4 = + adalah = √25 = 5 2. Panjang vektor: v adalah v

=

22

=

2i + j - 2k 

+ 12 + ( −2) 2

= √9 = 3

Vektor Satuan adalah suatu vektor yang panjangnya panjangnya satu

Vektor satuan searah sumbu

X, sumbu Y , dan sumbu Z berturut-turut

i , adalah vektor   1    0  

j dan 0k       

   i =  0  ,   j =  1    0    0          

dan

k  =  0  

 1      

Vektor Satuan

dari vektor a = a1i + a j 2 + a 3k

e= a

a a

+ a2 j + a3 k  ⇒ ea = 2 2 2 a1 + a 2 + a3 adalaha1i

Contoh:

2k

Vektor Satuan dari vektor a = i - 2j+ adalah….

Jawab:

e = a

e = a

a a

i − 2  j

12

+ 2k  + (−2) 2 + 2 2

e = a

e= a

i − 2  j + 2 k 

12

+ ( −2) 2 + 2 2

i − 2 j + 2k 

3

1 2 2 = − + i  j ea 3 3 3 k 

ALJABAR VEKTOR Kesamaan vektor  Penjumlahan vektor  Pengurangan vektor  Perkalian vektor dengan bilangan real

Kesamaan Vektor Misalkan: a = a1i + a2 j + a3k dan b = b1i + b2 j + b3k Jika: a = b , maka a1 = b1 a2 = b2 dan a3 = b3

Contoh Diketahui: a = i + x j - 3k

dan

b = (x – y)i - 2 j - 3k Jika a = b, maka x + y = ....

Jawab: a = i + x j - 3k dan b = (x – y)i - 2 j - 3k a=b 1=x-y x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y; ⇒ y = -3 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor  b 1    a 1           Misalkan: a =  a 2  dan  b =  b 2    b    a     3     3   Jika: a + b = c , maka vektor 

 a1 + b1      c =  a2 + b2    a3 + b3      

Contoh

  p      3      Diketahui: a =  - 2 p   b =  6    3     - 1       - 5      dan c =  4 q   2       Jika a + b = c , maka  p – q =....

  jawab:

a+b=c

  3     p    − 5             - 2 p +  6  =  4q    - 1    3    2                 3 +  p    − 5         ⇒  − 2 p + 6  =  4 q    (− 1) + 3    2          

  3 +  p    − 5          − 2 p + 6  =  4 q    (−1) + 3    2          

3 + p = -5 ⇒p = -8 -2p + 6 = 4q 16 + 6 = 4q 22 = 4q ⇒ q = 5½; Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½

Pengurangan Vektor

Misalkan: a = a1i + a2 j + a3k dan b = b1i + b2 j + b3k Jika: a - b = c , maka

 j + (a3 - b3)k c =(a1 – b1)i + (a2 – b2) j

Perhatikan gambar:  Y

b

A(4,1) vektor posisi: a

O

 - 2   vektor AB =  3       

B(2,4)

X

titik A(4,1) adalah:

 2   titik B(2,4) adalah:  b =      4  

 4   a =      1    

 - 2   vektor AB =  3       

 2    b =      4      2    4     - 2    b − a =   −    =    =  AB  4    1     3    A B        

 4   a =      1    

Jadi secara umum:

 AB

=b−a

Contoh 1  Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB

Jawab:   AB = b − a

 1    3    − 2             2  -  5  =  − 3   Jadi  4    2    2              

 − 2      AB =  − 3    2      

Contoh 2  Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2). Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)

  1      Jawab: P(1,2,-2) →  p =  2    − 2        − 1     Q(-1,3,0) → q =  3    0      

 - 1    1    − 2            PQ = q – p =  3  -  2  = 1    0    - 2    2              

PQ

 2      =  − 1    − 2      

PQ

=

2

Jadi PQ

=

9

2

+ (−1) + (−2) 2

=3

2

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real  a1  

   Misalkan: a =  a 2   dan  a   = bilangan real   3   Jika: c = m , maka  a1    m.a1         c = m a 2  =  m.a 2    a    m.a     3     3   m

.a

Diketahui:

Contoh   2   2           a =  - 1  dan  b =  - 1   6      4        

Vektor  x   x yang memenuhi a – 2 x = 3b adalah.... Jawab:   x1     2     x1     2               misal x =  x  ⇒  − 1 − 2 x  = 3 − 1  2

 x     3  

2

 6    x         3  

 4      

  2     x1     2             − 1 − 2 x2  = 3 − 1 ⇒  6    x    4         3      

  2    2 x1     6             − 1 −  2 x 2  =  − 3   6    2 x    1 2         3      

2 – 2x1 = 6 ⇒ -2x1 = 4 ⇒ x1= -2 -1 – 2x2 = -3 ⇒ -2x2 = -2 ⇒ x2 = 1 6 – 2x3 = 12 ⇒ -2x3 = 6 ⇒ x3 = -3  − 2   Jadi    vektor  x =  1  

 − 3      

View more...

Comments

Copyright © 2017 KUPDF Inc.
SUPPORT KUPDF